Koşi (Cauchy) Aritmetik-Geometrik Ortalama Eşitsizliği

Teorem: İki pozitif sayının aritmetik ortalaması, geometrik ortalamasından küçük olamaz.

Ispat: Eşitsizliğin her iki tarafının karesi alınıp taraflardan biri boş bırakıldığında diğer taraf "farkın karesi" açılımını gösterecektir.

Çözümün ilk satırındaki ifade en alt satırdaki şekle dönüştüğünde eşitlik bozulmamıştır. Zira herhangi bir reel ifadenin karesi her zaman sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olacaktır.

Peki sıfıra eşit olması hangi durumlarda geçerlidir?

Eşitsizlik eşitliğe dönüştürülüp devam ettirildiğinde aritmetik ve geometrik ortalamaların eşitliğinin, ancak ve ancak iki sayının aynı olması durumunda gerçekleştiğini görüyoruz.

Bu eşitsizliği Cauchy'nin (Koşi) 13 yaşında iken bulduğu söylenir ve eşitsizlik geometrik programlamanın temelini oluşturur.

Bazı ifadelerin en küçük değerlerinin araştırılmasında, özellikle türev yoluyla ekstramum (minimum) bulma yönteminin zorda kaldığı durumlarda da çok işe yaramaktadır. (Sadece minimum değerin bulunmasının sebebi ise gayet açıktır, değil mi?)

Serkan Şahinoğlu
19.12.2004