Markovyen Varsayımda Denge Vektörünün Bulunması

Markovyen varsayımda çoklu adım geçiş olasılıkları hesaplanırken, denge vektörünün (v) bulunması için tek adım geçiş olasılıkları matrisinden (p) yararlanılır. p biliniyorken,

  v.p = v

dengesini sağlayan v vektörü uzun dönem denge vektörü olarak elde edilir. Bunun sebebi bir dönemden sonra artık durumun değişmeyeceği, bunu sağlayabilecek bir denge vektörünün mutlaka var olacağıdır.

İki durumlu bir örnek için yukarıda elde edilen denklem aşağıdaki gibi kolayca çözülebilir.

Gerisi iki bilinmeyenli iki bağımsız denklemi çözmekten ibarettir. Çok fazla durum olduğunda denklem sistemini çözmek için ters matris kuralından faydalanabiliriz. Doğrusu ters matris işleminin yalnızca kısa bir bölümünü yaptıktan sonra sonuç kendiliğinden çıkacaktır. Aşağıda 4 durumluk bir örnek için matris çözümü ele alınmaktadır.

v.p=v eşitliği açıldıktan sonra elde edilen 4 denklemin çözümü için v1+v2+v3+v4=1 eşitliğinden yararlanarak denklemlerin sağ tarafları 1 ve 0 değerlerine dönüştürülmeye çalışılır. Kolay çözüm için denklemlerden yalnızca biri 1'e, diğerleri ise sıfıra dönüştürülür. Bunun için sağdaki değerleri denklemden çıkarılır veya kalan v değerleri denkleme eklenir.  Sonrasında oluşan yeni denklem sistemini çözmek için ters matris kullanılır.

Kofaktör matrisinin, her değer yerine kendi minörünün yazılarak oluşturulduğunu hatırlayın.

Determinantı bulmanın bir yolu da tek bir satır veya sütun için her değeri kendi minörü ile ve uygun işareti ile çarpıp toplamaktı. Bu durumda biz determinantı bulmak için ilk satırı ve zaten elimizde hazır bulunan ilk satırın minörlerini kullandık ve diğer değerlere hiç ihtiyacımız olmayacağı için onları soru işareti olarak bıraktık. (Zira bunlar biraz sonra 0 ile çarpılacak.)

A matrisinin tersini bulduğumuza göre son aşamada bunu s sonuç matrisi ile çarpmak gerekiyor.

Görüldüğü gibi minör değerleri hem determinant için hem de doğrudan v değerlerine ulaşmak için kullanılıyor.

Örnek:

A'nın tersi matrisinin ilk sütununun v denge vektörü ile aynı çıkması, ilk aşamalarda denklemlerin sağ tarafını (1 0 0 0) şeklinde ayarlamamız dolayısıyla olmuştur.

Serkan Şahinoğlu
19.12.2004